¿Por qué necesitan varias etapas los cohetes espaciales?

Pag. 83 de "La carrera espacial" de Alberto Marcos.

Como ya señalé hace unos días, Tsiolkovski ya había observado que el empuje del motor cohete depende de la masa de los gases quemados por la velocidad con que son expelidos. Pero para conseguir mayor velocidad de salida de los gases hay que aumentar la temperatura de combustión. La primera conclusión es que es conveniente emplear varios motores pequeños, que son más fáciles de refrigerar que uno grande.
En 1948, los rusos (con la colaboración de los científicos alemanes del tercer reich abducidos para el bloque comunista) desarrollaron el RD-100 que quemaba queroseno en atmósfera de oxígeno líquido alcanzando 3.420º C, expeliendo los gases a la velocidad de 2.940 m/s y proporcionando un empuje de 27 Tm-f.
Siendo pragmáticos, podríamos conseguir un factor de mérito de ln 5 por lo que la velocidad del cohete sería según Tsiolkovski:

Vf = Vg ln (Mi / Mf)

2.940 . ln 5 = 2.940 . 1, 61 = 4.732 m/s

¡Que es un poco más de la velocidad circular!
Siendo la velocidad circular, la necesaria para salir de la órbita terrestre = 8 Km./s.

La siguiente deducción es sencilla y recuerda un tanto la estratagema del barón de Munchausen (Münchhausen) para ir a la luna o salir de una ciénaga tirándose de la coleta hacia arriba.
Si un cohete no es suficiente potente para salir de la tierra, pongamos uno sobre otro para que el segundo se dispare cuando ya lleva la velocidad del primero.
La ecuación de Tsiolkovski se convierte ahora en:

Vf = V0 + Vg ln (Mi / Mf)

Donde V0 es la velocidad a partir de la que se dispara el siguiente módulo. 0 para el despegue de la primera etapa y 4.732 m/s para la 2ª en este caso.

Efecto de la cavitación en la velocidad real del cohete

Pag. 72 del excelente libro "La carrera espacial" de Alberto Marcos: En lugar de Mach-7, el V-2 alcanzó realmente 6000 Km / h.

Esto fue debido a que el V-2 se utilizó más como proyectil (con el debido roce contra la baja atmósfera) que como cohete (interespacial).
Y cuando un proyectil se desplaza a alta velocidad por un fluido se produce el fenómeno llamado de cavitación:

Cavitación = se crea una cavidad temporal, una depresión por vacío (el aire no tiene tiempo de rellenar el espacio que deja atrás el proyectil al ir tan rápido) detrás del bólido que tiende a desacelerarlo por succión. El movimiento turbulento del aire que sigue al proyectil para rellenar el vacío que deja, da lugar al silbido característico de los proyectiles de artillería.

Velocidad teórica del V-2 en función de su factor de mérito

En la pagina 70 del excelente libro "La carrera espacial" de Alberto Marcos se habla de la bomba cohete V-2, el primer cohete capaz de viajar por la estratosfera puesto que lleva su propio comburente.
La Tª en la cámara de combustión es de 2600º C por lo que la velocidad de expulsión de los gases llega a 1970 m/s.
El V-2 va estabilizado en sus tres ejes por giroscopios que actuan sobre timones aerodinámicos y aletas de tobera.
En la fig. 6 de la pag 71 vemos que su peso (total se entiende) era de 12, 9 Tm.
En la pag 72 se nos dice que su factor de mérito era de 1, 17 (con un peso de propergol de 8, 9 Tm) de lo que el autor deduce que el V-2 podía alcanzar una velocidad de Mach-7.
Desglosémoslo:

Peso V-2 = Mi = 12, 9 Tm = M propergol + Mf = 8,9 + Mf =>

Mf = 12, 9 - 8, 9 = 4 Tm = Masa de la nave vacía (después de expeler el propergol).

Tenemos pués Mi = 12, 9 Tm y Mf = 4 Tm

El factor de mérito del V-2 es entonces:

Ln (Mi / Mf) = Ln (12, 9 / 4) = ln 3, 225 = 1, 17 Q. E. D.

Deduzcamos ahora que el V-2 podía efectivamente alcanzar el Mach-7:

Vf = Vg Ln (Mi / Mf) = 1970 (m / s) . 1, 17 = 2305 (m/s) = 2305 . 3600 (m / 3600s) =

8297640 m/ h ≈ 8300 Km/ h

V sonido (20 ºC) = 344 m / s = 344 . 3600 (m / 3600s) = 1238,400 Km / h = Mach-1

Vf / V sonido = (8300 / 1238) Km / h = 6, 7 Machs ≈ practicamente Mach-7 Q. E. D.

¿Cuánto combustible tiene que llevar un cohete para levantar el vuelo?

Para los que habeís leído el excelente libro "La carrera espacial" de Alberto Marcos, desmenuzo algunos cálculos que se dejan en el aire (pag. 53):

Ecuación de Tsiolkovski (1857-1935):

Vf = Vg ln (Mi / Mf) ;

Vf = velocidad final del cohete al concluir la combustión
Vg = velocidad de los gases con respecto al vehículo
Mi = Masa inicial del vehículo antes de iniciarse la combustión
Mf = Masa al agotarse el combustible = masa del vehículo vacío.

Factor de mérito del cohete = ln (Mi / Mf)

El cohete alcanza la velocidad de sus exhaustaciones cuando Vf = Vg

Esto es: ln (Mi / Mf) = 1
O sea: Mi / Mf = e = 2, 718
Es decir: Mi = 2, 718 Mf

Conclusión: Para levantar cada tonelada de peso muerto (Mf = 1Tm) el cohete necesitará 1, 718 Tm (Mi – Mf = 2, 718 - 1) de gases propelentes licuificados, casi el doble de la “carga útil”.