jueves, 16 de febrero de 2012

Los misterios de MU, el teorema olvidado

Desmenuzo aquí otro artículo de la revista de mi juventud, Science et Vie. De hecho, otro artículo que viaja a través de los años (¡32 años!) haciendo resonar el continuum espacio temporal de mi vida.

El artículo proviene del número 749 de Science et Vie correspondiente a febrero de 1980.

Su enigmático título – Los misterios de MU, el teorema olvidado – sugiere todo un mundo paracientífico acerca de algún continente desaparecido.
Como no podía ser de otro modo, nada más lejos del fondo de este – o cualquier otro – artículo profundamente científico y cientificista propios de Science et Vie.

Este artículo trata de introducirnos en los vericuetos lógicos del siguiente teorema:

Establecemos el siguiente sistema que contiene tres símbolos: M; I y U

Estos tres símbolos se pueden unir en cadenas válidas para el sistema según una serie de reglas simples que llamaremos teoremas.

Vamos al meollo con un axioma (una premisa): la cadena MI.

Y ahora describimos las leyes de nuestro sistema: sus teoremas, que son cuatro.

1 – Si una cadena termina en I le añadimos una U
    MI > MIU
2 – Una cadena Mx (x = subcadena) se convierte en Mxx
    MI > MII
3 – Tres “I” seguidas se convierten en U
 III > U
4 – Dos “U” en una cadena se anulan:
    UUU > U

Entiéndase que las cadenas del sistema son teoremas (puesto que siguen sus reglas). Veamos unos ejemplos:
a - Establecemos el axioma (la premisa) MI (que termina en I). Por la regla 1 se convierte en MIU
b - Por la regla 2, MI se convierte en MII, después en MIIII (por la misma regla) que se convierte en MIU con la regla 3.

Resumiendo:
Una vez establecido el entorno en el que nos movemos vamos con la pregunta (que es a lo que íbamos):

Siendo MI el axioma elegido de nuestro sistema (que sigue las reglas descritas aquí encima), ¿Es MU un teorema del sistema?

La primera intuición es la de no descartar MU como posible teorema puesto que empieza como MI con una M. Pero queda demostrarlo.

Lo curioso de este artículo es que hace hincapié en que solo podremos demostrarlo mediante un sistema lógico ajeno (un metasistema) a aquel en el que nos estamos moviendo. Un sistema llamado “aritmética” que contiene sus propios axiomas y reglas. Veámoslo.

-    MU tiene cero “I”: MU > 0 x I
-    Cero es múltiplo de 3 (lo es de cualquier número para ser exactos): 0 = 3 x 0
Deducimos que I es múltiplo de 3.
-    1 y 4 no afectan a I, como múltiplo de 3.
-    3 divide I por 3 > no afecta tampoco a su multiplicidad por 3.
-    2, sin embargo multiplica I x 2 = 2n por lo que 2n no puede ser divisible por 3 (a no ser que n sí lo sea divisible, cosa que no tiene porque cumplirse).

MI contiene un número no múltiple de 3 de I (tiene “1” I) > Por lo anterior, ningún teorema puede contener un múltiple 3 de I [que es U según 4] > concretamente 0 (quedamos en que era múltiplo de 3) > según este razonamiento solo podemos tener cero U en MI.

                 MU es entonces NO demostrable en el sistema MIU     Q. E. D.
               (Quod Erat Demostrandum = Que Era lo que queríamos Demostrar)

La conclusión del artículo es muy interesante:

Todo lo que es “verdad” no es necesariamente calculable.
Es imposible establecer lo verdadero o falso de lo que no es calculable.

Matemáticos, informáticos, seamos humildes.

Como de costumbre, aqui os dejo el artículo original de Science et Vie:
Aqui teníamos otro, y aqui El equivalente americano de la Villette

2 comentarios:

Miguel López Casellas dijo...

Vale, ya lo he entendido. Eso si, no me pidas que te lo demuestre ■ ■ ■

Marc Gasca dijo...

Solo es una paja mental ;-)